Équation produit

Propriété

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

Exemple 1

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((3-x)(x+2)=0\).
Le membre de gauche de l'égalité est un produit de deux facteurs : \(3-x\) et \(x+2\).
On utilise la propriété précédente :
\((3-x)(x+2)=0 \Leftrightarrow 3-x=0\quad \text{ou}\quad x+2=0 \Leftrightarrow x=3\quad \text{ou}\quad x=-2\)
On conclut par \(\mathbf{\mathscr{S}=\{-2;3\}}\), ce qui signifie que l'ensemble des solutions est l'ensemble constitué des nombres \(-2\) et \(3\).

Exemple 2

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((E):\; 2(3x-4)(2-3x)=0\).
\((E)\Leftrightarrow (3x-4)(2-3x)=\dfrac{0}{2}=0\)
\((E)\Leftrightarrow 3x-4=0\;\text{ou}\;2-3x=0\)
\((E)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}\;\text{ou}\;x=\dfrac{2}{3}\)
On conclut :
\(\)  \({\mathbf{\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{2}{3}; \dfrac{4}{3} \right\rbrace}}\) 

Exemple 3

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((E):\;(x+1)(3-5x)-(x+1)(x-3)=0\)
\((E)\Leftrightarrow (x+1)[(3-5x)-(x-3)]=0\)

\((E)\Leftrightarrow (x+1)(3-5x-x+3)=0\)
\(\\ (E)\Leftrightarrow (x+1)(-6x+6)=0\)

\(\\ (E)\Leftrightarrow x+1=0\;\text{ou}\;-6x+6=0\)
\(\\ (E)\Leftrightarrow x=-1\;\text {ou}\;x=1\)
On conclut :
\({\mathbf{\mathscr{S}=\left\lbrace-1; 1 \right\rbrace}}\) 

Exemple 4

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((E):\;9x^2 -16=0\)
\((E)\Leftrightarrow (3x)^2-4^2=0\)
\((E)\ \Leftrightarrow (3x-4)(3x+4)=0\)
\((E)\Leftrightarrow 3x-4=0\;\text{ou}\;3x+4=0\)
\((E)\ \Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}\;\text{ou}\;x=-\dfrac{4}{3}\)
On conclut :
\({\mathbf{\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{4}{3}; \dfrac{4}{3} \right\rbrace}}\)

Exemple 5

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((E):\;x^2 +2x+1=0\)
\((E)\Leftrightarrow x^2+2\times x\times 1+1^2=0\)
\((E)\Leftrightarrow (x+1)^2=0\)
\((E)\Leftrightarrow x+1=0\;\text{ou}\;x+1=0\)
\((E)\Leftrightarrow x+1=0\)
\((E)\Leftrightarrow x=-1\)
On dit que \(-1\) est une solution double.
On conclut :
\({\mathbf{\mathscr{S}=\left\lbrace-1 \right\rbrace}}\)